Калькулятор факториала

Калькулятор факториала — вычисление n! с шагами

🔢 Вычисляйте факториал (n!) для любого числа от 0 до 170. Смотрите пошаговое разложение, перестановки, сочетания и реальные применения.

Что такое факториал?

Факториал неотрицательного целого числа n, обозначаемый n!, — это произведение всех положительных целых чисел, меньших или равных n. Он показывает количество способов упорядочить n различных объектов.

Формула факториала

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 3 × 2 × 1

• 0! = 1 (по определению)
• 1! = 1
• n! = n × (n-1)! (рекурсивное определение)

Примеры факториалов

• 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
• 10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 3,628,800
• 0! = 1 (особый случай)
• 20! = 2,432,902,008,176,640,000

Почему 0! = 1?

Существует ровно один способ упорядочить ноль объектов: пустое расположение. Это определение гарантирует, что математические формулы (особенно в комбинаторике) работают корректно. Оно также согласуется с рекурсией: n! = n × (n-1)!, поэтому 1! = 1 × 0! означает, что 0! должен быть равен 1.

Перестановки

P(n,r) = n!/(n-r)!

Количество способов упорядочить r объектов из n различных объектов, когда порядок важен.

• Пример: P(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60
• Применение: места на пьедестале в гонке (1-е, 2-е, 3-е)

Сочетания

C(n,r) = n!/(r!(n-r)!)

Количество способов выбрать r объектов из n различных объектов, когда порядок не важен.

• Пример: C(5,3) = 5!/(3!×2!) = 120/(6×2) = 10
• Применение: лотерейные числа, выбор комитета

Концевые нули в n!

Концевые нули появляются из множителей 10 = 2 × 5. Поскольку множителей 2 всегда больше, чем 5, достаточно посчитать множители 5:

Нули = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ...

• 10! имеет 2 концевых нуля
• 25! имеет 6 концевых нулей
• 100! имеет 24 концевых нуля

Применения в реальном мире

• Криптография: количество возможных ключей шифрования
• Планирование: способы упорядочить встречи, задачи, события
• Генетика: возможные последовательности ДНК/белков
• Вероятность: расчёт шансов в играх, лотереях
• Информатика: анализ сложности алгоритмов
• Производство: варианты организации производственной линии
• Логистика: задачи оптимизации маршрутов

Известные значения факториала

• 52! ≈ 8.07 × 10⁶⁷ (тасование карт)
• 70! ≈ 1.2 × 10¹⁰⁰ (превышает число атомов во Вселенной ≈ 10⁸⁰)
• 100! ≈ 9.3 × 10¹⁵⁷ (158 цифр!)
• 170! ≈ 7.3 × 10³⁰⁶ (максимум JavaScript)

Приближение Стирлинга

Для больших n вычислять точные факториалы непрактично. Приближение Стирлинга:

n! ≈ √(2πn) × (n/e)ⁿ

Это приближение становится точнее при росте n. Для n = 10 ошибка < 1%.

Скорость роста факториала

Факториал растёт намного быстрее экспоненциальных или полиномиальных функций:

• Полином: n² = 100 при n=10
• Экспонента: 2ⁿ = 1,024 при n=10
• Факториал: n! = 3,628,800 при n=10

Двойной факториал

Двойной факториал (n!!) перемножает каждое второе число:

• n!! = n × (n-2) × (n-4) × ... × 2 или 1
• 7!! = 7 × 5 × 3 × 1 = 105
• 8!! = 8 × 6 × 4 × 2 = 384

Субфакториал (дерранжменты)

Субфакториал !n считает перестановки, в которых ни один элемент не остаётся на своём месте:

!n = n! × (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)ⁿ/n!)

Пример: !3 = 2 (перестановки ABC без совпадений: BCA, CAB)

Реализация в программировании

Итеративный подход:

function factorial(n) {
    let result = 1;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        result *= i;
    }
    return result;
}
            

Рекурсивный подход:

function factorial(n) {
    if (n === 0 || n === 1) return 1;
    return n * factorial(n - 1);
}
            

💡 Совет: При вычислении перестановок и сочетаний сокращайте общие множители до вычисления, чтобы избежать переполнения. Для C(100,2) = 100!/(2!×98!) вычисляйте (100×99)/2 = 4,950 вместо того, чтобы считать огромные факториалы отдельно!